Precise Temperament Tuning: 432,081216 Hz, nachgerechnet
Robert Edward Grants Precise Temperament Tuning, nachgerechnet.
216 × 1,26³ = 7,56³ = 432,081216
Mit der exakten Kubikwurzel aus 2 wären es 432,000000 Hz.
Eine Zahl. Drei Terzen. Eine Rundung.
Eine Oktave ist eine Verdopplung: aus 216 Hz wird 432 Hz. Teilst du sie in drei gleiche Terzschritte, braucht jeder den Faktor rund 1,259921. Grant rechnet mit 1,26 – sehr nah, aber nicht identisch. Aus dieser Rundung entstehen die Nachkommastellen. Genauer: 1,26 = 63/50 ist eine rationale Setzung, die wie die Rundung von 2^(1/3) auf zwei Dezimalstellen wirkt – und genau sie erzeugt den Überschuss.
Fünf Begriffe, dann ist alles klar
Wer Ton, Intervall, Oktave, Cent und Temperament versteht, versteht den ganzen Streit um 432,081216 Hz. Kein Vorwissen nötig.
Ton & Frequenz
Ein Ton ist eine Schwingung. Die Frequenz in Hertz sagt, wie oft pro Sekunde. 432 Hz heißt 432-mal pro Sekunde.
Intervall
Kein Abstand in Hertz, sondern ein Verhältnis. Eine reine große Terz ist 5/4 = 1,25, eine Quinte ist 3/2.
Oktave
Das Verhältnis 2/1. Die Frequenz verdoppelt sich: aus 216 wird 432, aus 432 wird 864.
Cent
Logarithmisches Maß für Tonhöhen – kein Prozent. Eine Oktave hat 1200 Cent, ein gleichstufiger Halbton 100. Besser zum Vergleichen als Hertz.
Temperament
Ein System aus Kompromissen. Reine Intervalle klingen schön, passen aber nicht in allen Tonarten zugleich. Temperamente verteilen den Konflikt.
Equal, Just und Pythagorean im Vergleich +
Equal Temperament teilt die Oktave in zwölf gleiche Schritte; die große Terz ist 24/12 = 21/3 (400 Cent). Just Intonation nutzt einfache Verhältnisse, die reine Terz 5/4 = 1,25 (386,3 Cent), drei davon bleiben aber unter der Oktave. Pythagorean Tuning baut auf reinen Quinten; seine Terz 81/64 = 1,265625 (407,8 Cent) ist deutlich weiter als 1,26.
Die Formeln hinter dem Cent +
Cent(r) = 1200 × log2(r) und r(c) = 2c/1200
Damit lässt sich jedes Frequenzverhältnis in Cent umrechnen und jeder Cent-Wert zurück in ein Verhältnis.
Drei Wege. Eine Oktave.
Stapelst du drei große Terzen über 216 Hz, entscheidet die gewählte Terz, wo du landest. Nur die exakte Kubikwurzel aus 2 schließt die Oktave. Grant setzt daneben die rationale 1,26 – daraus entsteht der kleine Überschuss. Wähl einen Weg.
0,081216 Hz über der Oktave
+0,325 Cent zur Oktave
Grant arbeitet mit der glatten, rationalen Näherung 1,26 = 63/50. Der Überschuss von 0,081216 Hz (0,325 Cent, weit unter der Hörschwelle) ist kein Zufall, sondern die direkte rechnerische Folge dieser Setzung.
Eigene Rekonstruktion eines fremden Systems – keine fremde Grafik, alle Werte selbst gerechnet.
Wo 2,000000 zu 2,000376 wird
Drei Terzschritte sollen die Oktave füllen, also muss der Einzelschritt r die Gleichung r3 = 2 erfüllen. Das gilt für die Kubikwurzel aus 2 exakt. Für 1,26 nicht ganz.
1,263 ergibt
2,000 376
die exakte Kubikzahl wäre
2,000 000
Weil 216 = 63 ist, gilt 216 × 1,263 = (6 × 1,26)3 = 7,563. Die Zahl 432,081216 ist also auch der Kubus von 7,56. Keine eigenständige Frequenzkonstante muss zusätzlich angenommen werden — die Nachkommastellen kommen vollständig aus der Setzung 1,26.
1,26 = 63/50 · eine endliche, rationale Zahl.
| 21/3 | 1,259921049894873 |
| 1,26 | 1,260000000000000 |
| 1,26 - 21/3 | 0,000078950105127 |
| Cent(1,26 / 21/3) | 0,108480 / Terz |
| 1,263 | 2,000376 |
| Delta = 1,263/2 | 1,000188 |
| Cent(432,081216/432) | 0,325441 |
Exkurs: Die Spur der Ziffern 081216 +
Die Nachkommastellen 081216 sind nicht frei gedeutet, sondern entstehen exakt aus dem Überschuss von 1,263 gegenüber 2: 0,081216 = 216 × (1,263 - 2). Da 216 = 63, gilt 216 × 1,263 = 7,563 — entfernt man das Komma, erscheint die Zahl als perfekter Kubus: 7563 = 432081216 (als ganze Zahl gelesen). Diese Struktur ist mathematisch belastbar.
Symbolische Lesarten — etwa 08:12:16 gelesen als Verhältnis 2:3:4 — bleiben ausdrücklich nachgeordnet und werden nicht als Beweis behandelt.
Von der Zahl zur spielbaren Tonleiter
Aus den Bausteinen t = 1,26, q = 3/2 und Delta = t3/2 lassen sich die meisten Stufen direkt ableiten. Die Werte sind deckungsgleich mit der praktischen Implementierung, bis auf Rundung.
So liest du die Tabelle: Note links, Frequenz in der Mitte, rechts die Abweichung zur gleichstufigen Stimmung — negative Werte liegen etwas tiefer, positive etwas höher. Grün = direkt ableitbar, Gelb = rekonstruiert oder implementierungsnah.
Hinweis: Die Frequenzen folgen den gerundeten Centwerten der praktischen PTT-Implementierung. Die Formelspalte nennt den idealen Generator beziehungsweise die beste Rekonstruktion — kleine Abweichungen im Bereich von Tausendstel Cent sind reine Rundungseffekte.
Vollständige Wertetabelle: PTT/ET Cent, Faktor, Formel +
| Note | PTT Cent | ET Cent | Abw. | Faktor | Frequenz Hz | Formel / Status |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 0,000 | 0 | +0,000 | 1,000000000 | 432,081216 | 1 |
| A# | 97,933 | 100 | -2,067 | 1,058198907 | 457,227871 | ~ 200/189 |
| B | 203,910 | 200 | +3,910 | 1,124999999 | 486,091368 | (3/2)²/2=9/8 |
| C | 302,170 | 300 | +2,170 | 1,190698651 | 514,478521 | q·t²/2 |
| C# | 400,107 | 400 | +0,107 | 1,259998923 | 544,421867 | 1,26 |
| D | 498,044 | 500 | -1,956 | 1,333332564 | 576,107956 | 4/3 |
| D# | 599,675 | 600 | -0,325 | 1,413948101 | 610,940415 | ~ 21/2/ Delta |
| E | 702,279 | 700 | +2,279 | 1,500280750 | 648,243131 | ~ (3/2)·Delta |
| F | 800,217 | 800 | +0,217 | 1,587600036 | 685,972154 | 1,26² |
| F# | 897,829 | 900 | -2,171 | 1,679685153 | 725,760403 | 4/(q·t²) |
| G | 1004,126 | 1000 | +4,126 | 1,786049007 | 771,718227 | q²·t²/2 |
| G# | 1102,062 | 1100 | +2,062 | 1,889998383 | 816,632800 | (3/2)·1,26=1,89 |
| A | 1200,000 | 1200 | +0,000 | 2,000000000 | 864,162432 | 2/1 |
Eigene Rekonstruktion. Wo Werte aus dem Grant-Deck oder der praktischen Implementierung stammen, ist die Formel angegeben. D# und E bleiben die feinsten Stellen: D# liegt knapp unter 21/2, die Quinte erscheint minimal geweitet.
A5, A4 und MIDI 69, ein Notationsthema +
Grant-nahe Quellen nennen den Referenzton A5 = 432,081216 Hz. In moderner Standardnotation wird derselbe Bereich oft als A4-Kontext gelesen, und ISO 16 legt A4 = 440 Hz fest. Die Rechnung 216 × 1,263 hängt nicht davon ab, wie der Zielton heißt. Es ist ein Notationsthema, kein Rechenthema.
Was man wirklich hört
432 gegen 432,081216 Hz sind 0,325 Cent — als isolierte Tonhöhenverschiebung für die meisten deutlich unter der bewussten Wahrnehmungsschwelle. Diese variiert allerdings mit Frequenz, Klangfarbe, Lautstärke, Training und Kontext; bei gleichzeitig klingenden Tönen fällt Kleines über Schwebungen eher auf. Der hörbare Unterschied steckt ohnehin nicht im Referenzton, sondern in den Terzen.
Derselbe Dur-Akkord, vier Stimmungen. Hör auf die Terz.
Live-Wellenform, sobald ein Klang läuft.
Die Schwebung
Spielt man 432 und 432,081216 Hz zusammen, entsteht eine sehr langsame Schwebung. Hier zwei Oktaven höher gelegt, damit der Puls in wenigen Sekunden hörbar wird. Den Unterschied, den man als Tonhöhe kaum erkennt, hört man hier als langsamen Lautstärkepuls.
| 432 zu 432,081216 | 0,325 Cent | isoliert kaum hörbar |
| 1,26 zu 21/3 | 0,108 Cent | sehr klein, Identität wäre falsch |
| 1,26 zu 5/4 | 13,795 Cent | hörpraktisch relevant |
| 81/64 zu 5/4 | 21,506 Cent | deutlich relevant |
Synthetische Hörbeispiele zum Intervallvergleich. Keine Komposition und kein Wirkungsnachweis. Die hörbaren Whisperer-Klänge von BOHN AI sind etwas anderes: von Hand komponiert, nicht generiert.
Was exakt ist, was Deutung
Die größte Gefahr bei diesem Thema ist, die Ebenen zu vermischen. Eine mathematische Identität hat einen anderen Status als eine Quellenbehauptung, eine Implementierung oder eine symbolische Deutung. Deshalb trennen wir sie.
432,081216 Hz ist mathematisch reproduzierbar.
Aber sie entsteht aus 1,26 — nicht aus der exakten Kubikwurzel aus 2.
Grant liefert ein geometrisch-musikalisches System mit klar berechenbarer Kernzahl. BOHN AI macht diese Zahl nachvollziehbar und trennt mathematische Identität von Näherung, Quellenbehauptung von Implementierung und Klangästhetik von Wirkungsaussage. Genau darin liegt der Wert dieser ersten Grant-Arbeit.
[G1] R. E. Grant: Precise Temperament Tuning, offizielle Themenseite. 432,081 Hz, 1,26 statt 5/4. robertedwardgrant.com/precise-temperament-tuning
[G2] R. E. Grant: PTT Overview. A5 = 432,081216 Hz, Ableitung aus 3/2 und 21/3. .../precise-temperament-tuning-overview
[G3] Grant / Janover: World’s First Concert Piano tuned to 432.081hz. 1,263, A5. .../concert-piano-432-081hz [Original-URL: "tenperament", sic]
[G4] Grant / Janover: See and Hear Differences… at 432 Hz. Vergleich Equal, Precise, Just, Pythagorean. .../see-and-hear-differences
[G5] Grant / Janover: The Case for PTT in 432.081hz instead of 432hz. .../the-case-for-ptt [Original-URL: "he-case", sic]
[G6] R. E. Grant: Presentation Deck (PDF), ausgewertet für die BOHN-AI-Forschungsfassung. Frequenzliste, Cube of Delos, Seed Values. PDF
[G7] Grant / Janover: 24 Note Quartertone Relationship to Ancient Pyramids. Separat geführt. .../24-note-quartertone
[M1] T. Mazzotti: How to create and use the 432 Hz Precise Temperament scale files. SCL/TUN/TXT, Centwerte. tonimazzotti.com/how-to-create-and-use-the-precise-temperament-for-432-hz
[B1-B3] Encyclopaedia Britannica: Tuning and temperament (Equal, Just, Pythagorean). britannica.com/art/tuning-and-temperament
[I1] ISO 16:1975, Standard tuning frequency. A = 440 Hz (2022 bestätigt). iso.org/standard/3601
[P1-P2] Cent (music), Pitch (music): logarithmische Einheit und Wahrnehmungsschwelle. Cent · Pitch
Von Grants Zahl zur eigenen Forschung.
Dieselbe Strenge in der Universalfrequenz-Reihe: erst rechnen, dann deuten. Geometrie wird Zahl, Zahl wird Klang — sauber getrennt, mutig gedeutet.
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